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908 [2010/02/02(火) 08:28:50] １３２人目の素数さん

»871 
極論言いますよ。
公理系（ことば）が先にあり、然る後に研究対象（もの）はそのモデルとして存在するとするのがロジックです。
研究したいものが先にあって人間のことばは単なる手段に過ぎないと考えるのが普通の数学です。

「選択公理と数学」の第四章を理解して目を通されたならば当然ご存じだと思いますが、
選択公理を使わなければ～～は証明できない、ということを証明するためには
さて、今示した定理 A の証明が実際に論理式の列としてmachine-readableな形で書き下さしたとしよう、
証明で使われる公理は有限個だからそれを{φ_0,…….., φ_{n-1} } とする（以下略）
というような、一般的な数学からするととんでもない議論をします。
これはロジックの議論です。
選択公理より～～が成り立つ、という証明は（普通は）ロジックの議論じゃありません。
解析的整数論が基礎論じゃないのと同じです。
だからロジックを応用して一般的な数学に関する結果を導くときには、
Church-Turingのテーゼが正しいならば、とか、Hilbertのテーゼが正しいならば、とか、
集合に関する事実の証明手段が ZFC（のサブセット）に収まるならば、
とかそういう前提条件がほぼ必ず付きます。

setの研究はロジックではありません。universeの研究はロジックです。
GodelとCohen以後の集合論の大部分は後者ですし、»871にある結果も
可換環の性質に関する定理ではなくて、ZFという公理系の性質に関する定理です。