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一次素数生成多項式の非存在
定理: f(x) を最高次の係数が正である一次以上の整数係数多項式とする。このとき適当な自然数 n に対して f(n) は 1 より大きい合成数となる。
補題1: f(f(n)+n) は f(n) の整数倍である。
証明: 二項展開するとわかる。
補題2: f(n), f(f(n)+n) がともに 1 より大きくなる n が存在する。
証明: 最高次の係数が正なので、十分大きい自然数 N をとれば n > N ⇒ f(n) > 1 となる。さらに、この N に対して十分大きい自然数 M をとれば n > M ⇒ f(n) > N となる。この M を n としてとればよい。
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要するに、超大きい n をとると f(f(n)+n) は 1 より大きい合成数になるよ！
